Уравнение 5 указывает на то, что r³/T² одинаково для всех планет. Хотя все они находятся на совершенно разных расстояниях от Солнца и имеют разные периоды орбитального движения, соотношение r³/T² у всех одинаково. Немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер обнаружил этот удивительный факт в 1619 году, задолго до Ньютона. Но почему это отношение – куба радиуса к квадрату орбитального периода, – величина постоянная, он объяснить не смог. Только гениальный Ньютон 68 лет спустя показал, что это естественное следствие его законов.
В общем и целом уравнение 5 говорит нам о том, что если мы знаем расстояние от любой планеты до Солнца (r), орбитальный период этой планеты (Т) и гравитационную константу (G), то мы можем вычислить массу Солнца (m1).
Орбитальные периоды планет с достаточно высокой степенью точности были известны ученым задолго до XVII века. Расстояния между Солнцем и планетами также были известны с высокой степенью точности задолго до XVII века, но только в относительном масштабе. Иными словами, астрономы знали, что среднее расстояние от Венеры до Солнца составляет 72,4 процента от расстояния между Землей и Солнцем, а среднее расстояние от Юпитера до Солнца в 5,2 раза больше, чем от Солнца до Земли. Но абсолютные значения этих расстояний – совершенно другая история. Например, в XVI веке, во времена великого датского астронома Тихо Браге, считалось, что расстояние от Земли до Солнца в 20 раз меньше, чем оно было на самом деле (около 150 миллионов километров). В начале ХVII века Кеплер дал более точную оценку этого расстояния, но оно по-прежнему было в семь раз меньше правильного.
Поскольку, согласно уравнению 5, масса Солнца пропорциональна кубу его расстояния (до планеты), то если расстояние r не дотягивает до реального в семь раз, масса Солнца будет меньше фактической в 7³, то есть в 343 раза – много ли проку в таких данных?
Прорыв произошел в 1672 году, когда итальянский ученый Джованни Кассини измерил расстояние от Земли до Солнца с точностью до 7 процентов (весьма внушительный по тем временам результат), а это означало, что погрешность r³ составляла лишь около 22 процентов. Но и погрешность определения G все еще была не менее 30 процентов. Так что получается, что к концу ХVII века масса Солнца могла быть определена с точностью не выше 50 процентов.
Поскольку относительные расстояния от Солнца до планет были известны довольно точно, знание абсолютного расстояния от Солнца до Земли с 7-процентной точностью позволяло к концу ХVII века приблизительно с такой же точностью рассчитать и абсолютные расстояния от Солнца до пяти других известных астрономам планет.
Описанный выше метод для расчета массы Солнца можно использовать и для определения массы Юпитера, Сатурна и Земли. Все три планеты имеют на своих орбитах спутники; еще в 1610 году Галилео Галилей обнаружил четыре спутника Юпитера, которые ныне известны как галилеевы луны. Если m1 – масса Юпитера, а m2 – масса одного из его спутников, то мы можем вычислить массу Юпитера с помощью уравнения 5 – так же, как вычисляли массу Солнца, только на этот раз r будет расстоянием между Юпитером и его спутником, а Т – орбитальным периодом этого спутника при вращении вокруг Юпитера. Четыре галилеевых луны (всего у Юпитера 63 спутника!) имеют орбитальные периоды 1,77 дня, 3,55 дня, 7,15 дня и 16,69 дня.
Со временем точность оценки расстояний между планетами и величины G существенно повысилась. К XIX веку константа G была известна с точностью до 1 процента. В настоящее время она оценена с точностью до 0,01 процента.
Приведу пример с конкретными числами. Предлагаю с помощью уравнения 5 вместе вычислить массу Земли (m1), взяв для этого данные об орбите нашей Луны (масса m2). Чтобы использовать уравнение 5 правильно, расстояние r должно быть выражено в метрах, а период T в секундах. И при G, равном 6,673 × 10−11, мы получим массу в килограммах.
Среднее расстояние от Земли до Луны (r) составляет 3,8440 × 108 метров; ее орбитальный период Т равен 2,3606 × 106 секунды (27,32 дня). Если подставить эти числа в уравнение 5, масса Земли будет равна 6,030 × 1024 килограмма. Самая точная на сегодняшний день оценка массы Земли составляет около 5,974 × 1024 килограмма, то есть всего на 1 процент меньше, чем то значение, которое мы только что рассчитали! Откуда же взялась эта разница? Одной из причин погрешности является то, что в использованном нами уравнении предполагается круговая орбита Луны, в то время как на самом деле она вытянутая, эллиптическая. В результате наименьшее расстояние до Луны составляет 363,1 тысячи километров, а наибольшее – 405,7 тысячи километров. Конечно, для законов Ньютона эллиптические орбиты не проблема, но, боюсь, сложность этих расчетов может взорвать ваш мозг. Если уже не взорвала!
Есть еще одна причина, по которой полученный нами результат массы Земли немного отличается от фактического. Дело в том, что мы основывались на предположении, что Луна вращается вокруг Земли и что Земля находится в центре ее круговой орбиты. Таким образом, в уравнениях 1 и 3 мы исходили из того, что r – это расстояние между Землей и Луной. Для уравнения 1 это верно; однако, как мы обсуждали в главе 13, на самом деле и Луна, и Земля вращаются вокруг центра масс системы Луна-Земля, расположенного примерно на 1700 километров ниже поверхности Земли. Таким образом, r в уравнении 3 чуть меньше, чем в уравнении 1.
Поскольку мы живем на Земле, у нас есть и другие способы расчета массы родной планеты. Один из них заключается в измерении гравитационного ускорения вблизи поверхности. Падая, любой объект массой m (m может иметь любое значение) наращивает скорость с ускорением, g, то есть около 9,82 метра в секунду за секунду [29] . Средний радиус Земли приблизительно 6,371 × 106 метра.
Теперь вернемся к уравнению 1 Ньютона. Поскольку F = ma (второй закон Ньютона), то
Здесь r – радиус Земли. При G = 6,673 × 10−11, g = 9,82 метра в секунду за секунду и r = 6,371 × 106 метра мы можем вычислить mземл в килограммах (обязательно попробуйте!). Если несколько упростить уравнение 6, получаем
Я подсчитал, что mземл составляет 5,973 × 1024 килограмма (впечатляет, не правда ли?).
Обратите внимание, что массы m брошенного нами объекта в уравнении 7 вообще нет! Это не должно вас удивлять, потому что масса Земли не может зависеть от массы объекта, который вы на нее роняете.
Вам, возможно, будет также интересно узнать, что, по мнению Ньютона, средняя плотность Земли составляет от 5000 до 6000 килограммов на кубический метр. Следует отметить, что эта гипотеза не основывалась на какой-либо астрономической информации; он предложил ее полностью независимо от всех своих законов. Это была наилучшая «обоснованная» прикидка великого физика. Средняя плотность Земли действительно составляет 5,540 килограмма на кубический метр. Если записать предположение Ньютона как 5,500 ± 500 килограммов на кубический метр, получится, что погрешность его оценки – всего 10 процентов (просто невероятно!).
Я не знаю, воспринималась ли эта идея Ньютона кем-либо из его современников всерьез, но допустим, что да. Так как радиус Земли был в XVII веке известен, ее массу можно было вычислить с точностью до 10 процентов (масса – это объем, умноженный на плотность). Следовательно, уравнение 7 можно использовать для расчета G тоже с точностью до 10 процентов. Я говорю вам это потому, что меня лично очень интригует тот факт, что при условии принятия оценки средней плотности Земли Ньютоном гравитационная константа G тоже могла быть известна в конце XVII века с точностью до 10 процентов!